Monotonie von 1/x^2+a^2

Question

Aufgabe:

ga(x)= 1/(x^2+a^2)

(a≠0)

Nun habe ich hier die Ableitung herausgefunden. Ich weiß jedoch nicht, wie ich hieraus das Monotonieverhalten erkennen kann, da es zwei Variablen gibt.

Comments

Nun habe ich hier die Ableitung herausgefunden.

Da bin ich mir nicht so sicher. Geht es wirklich um die Funktion

$$g_a(x)=\frac{1}{x^2}+a^2$$ ?

Wenn nicht: Ergänze die fehlenden Klammern.

Answer 1

Gut, du hast also die Klammern ergänzt.

Für die Funktion gilt f(x)=f(-x), also liegt Symmetrie zur y-Achse vor. Damit reicht es es, zunächst einmal nur eine Seite (z.B. x≥0) zu betrachten. Der Bruch hat mit "1" einen konstanten Zähler. Der Nenner x²+a² hat an der Stelle x=0 den Wert a², und mit wachsendem x wächst der Nenner immer mehr. Damit wir der Bruch immer kleiner, und die Funktion ist für x≥0 monoton fallend. Für x<0 ist sie wegen der Symmetrie wachsend.