Rechenweg aufstellen und lösen

Question

Aufgabe:

Raytracing (Strahlenverfolgung) ist ein auf der Aussendung von Strahlen basierender Algorithmus zur Verdeckungsberechnung, also zur Ermittlung der Sichtbarkeit von dreidimensionalen Objekten von einem bestimmten Punkt im Raum aus.Das Prinzip des Raytracings kann mittels nachfolgenden Beispiels veranschaulicht werden:Vom Kamerapunkt ausgehend wird ein Strahl r durch die Mitte eines Pixels P1 der Bildebene und auf den nächsten Schnittpunkt S mit der Szene (einer Ebene) e gesendet. Das betroffene Pixel wird entsprechend eingefärbt. Im gegebenen Fall wird das Pixel der Bildebene grün eingefärbt, da die Ebene (Szene) e sich vor der Kugel k befindet. Die Kugel k befindet sich hinter der Ebene e.

Um die Korrektheit des Raytracing-Algorithmus zu überprüfen, soll der Schnittpunkt S (Strahl r und Ebene e), nachgerechnet werden. Die Kamera befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems und der Strahl r wird in Richtung des Pixels P1 =(5|1,5|4) gesendet. Die Ebene e ist durch ihren Normalvektor⃗ n=(⁻¹²2₃) und einen Punkt der Ebene A = (7|0|-2) gegeben.

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S.

b) Berechnen Sie, unter welchem Winkel der Strahl r auf die Szene (Ebene) e trifft.

Problem/Ansatz:

Rechenweg aufstellen und Lösung

Answer 1

Die Kamera befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems und der Strahl r wird in Richtung des Pixels P1 =(5|1,5|4) gesendet. Die Ebene e ist durch ihren Normalvektor⃗ n=(−1223) und einen Punkt der Ebene A = (7|0|-2) gegeben.

Gleichung des Strahls  $$\vec{x}=t*\begin{pmatrix} 5\\1.5\\4 \end{pmatrix}$$

Ebene $$(\vec{x}-\begin{pmatrix} 7\\0\\-2 \end{pmatrix})*\begin{pmatrix} -12\\2\\3\end{pmatrix}=0$$

Einsetzen gibt (5t-7)*-12 + (1.5t-0)*2 + (4t+2)*3 = 0

also t= 2

Also ist der Schnittpunkt ( 10 ; 3 ; 8 ).

Winkel α zwischen Strahl und Normalenvektor ist gegeben durch

$$\begin{pmatrix} 5\\1.5\\4 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -12\\2\\3\end{pmatrix}=|\begin{pmatrix} 5\\1.5\\4 \end{pmatrix}|*|\begin{pmatrix} -12\\2\\3\end{pmatrix}|*cos(α)$$

-45 = 6,576 * 12,53 * cos(α)    ==>  α= 123,1°

Also ist der Winkel zwischen Strahl und Ebene 33,1°

Comments

Kannst du mir erklären wie du auf die Gleichung des Strahl kommst?

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Das ist die Gerade durch den 0-Punkt und P1