Reihe auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert berechnen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz, und bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den wert der Reihe:

\( \sum\limits_{n=2}^{\infty}{\frac{3*n*(n-1)}{n!}} \) 

Problem/Ansatz:

Ich wäre die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium angegangen, also:

\( \frac{3*(n+1)*((n+1)-1)}{(n+1)!} \) / \( \frac{3*n*(n-1)}{n!} \)

Wenn ich das alles auflöse komme ich auf

\( \frac{n+1}{n^2-1} \)

Wenn ich n jetzt gegen unendlich laufen lasse ist mein Q<1 und deshalb ist die Reihe konvergent.

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das Ergebnis stimmt der Weg aber falsch ist.

Vielleicht kann mir da jemand beim Rechenweg oder dem Ansatz helfen.

Die nächste Frage ist noch die der Grenzwertberechnung...

Wenn ich die Summe zum n=10 Glied durchrechne komme ich irgendwo auf 8,154836...

Wie gebe ich den Grenzwert korrekt an?

Gruß
Tonka

Answer 1

Aloha :)

$$S_N\,:\!=\sum\limits_{n=2}^N\frac{3n(n-1)}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{N-2}\frac{3(n+2)(n+1)}{(n+2)!}=\sum\limits_{n=0}^{N-2}\frac{3\cancel{(n+2)}\cancel{(n+1)}}{\cancel{(n+2)}\cancel{(n+1)}n!}=\sum\limits_{n=0}^{N-2}\frac{3}{n!}$$Wir untersuchen die Reihe auf Konvergenz mit dem Quotientenkriterium:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{3}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0<1\quad\Rightarrow\quad\text{Konvergenz}$$Der Grenzwert lautet:$$S_{\infty}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{3}{n!}=3\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=3\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)_{x=1}=3\cdot (e^x)_{x=1}=3\cdot e$$Die eingeklammerte unendliche Summe ist genau die Potenzreihe der \(e^x\)-Funktion.

Comments

Hi

vielen vielen Dank!

Da war ich ja komplett falsch.. Ich wusste zwar das der Grenzwert 3*e ist (ergibt sich ja so durch die Wertetabelle) und daher wusste ich auch das es konvergiert...

Aber den Endwert zu verschieben.. Darauf wäre ich nie gekommen..

Hatte auch nach studenlangen Suchen im Internet nichts ähnliches gefunden...

Gruß

Tonka

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Hallo,

woher kommt denn im 3. Schritt im Nenner das *(n+1)n? Vielleicht könntest du das nochmal erläutern.

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Das kommt von der Fakultät:

$$(n+2)!=\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n}_{=n!}\cdot(n+1)\cdot(n+2)=n!\,(n+1)\,(n+2)$$