Aloha :)
$$a_n=n^2\,\frac{(2-n^{-1/2})^3-(1+n^{-2})^3}{n^2+1+n^{3/2}}=n^2\,\frac{(2-n^{-1/2})^3-(1+n^{-2})^3}{n^2\left(1+n^{-2}+n^{-1/2}\right)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(2-\frac{1}{\sqrt n}\right)^3-\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^3}{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\sqrt n}}\to\frac{8-1}{1}=7$$Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen konvergieren ihrerseits gegen Summe, Differenz, Produkt und Quotient der Grenzwerte (bei der Division muss man aufpassen, dass der Grenzwert des Nenners ungleich null ist). Daher gilt:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{\sqrt n}\right)^3=(2-0)^3=8$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^3=(1-0)^3=1$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\sqrt n}\right)=1+0+0=1$$
