Wir definieren rekursiv eine Folge nichtnegativer Zahlen durch a0 := 0 und an+1 := √2 + an für n∈N0.
Es ist also a1 =√2, $$a2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$$ , $$a3 =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$ usw.
Zeigen Sie:
1) an ≤ 2 für alle n∈N0 (vollständige Induktion).
2) Die Folge (an)n∈N ist monoton steigend.
3) (an)n∈N ist konvergent und es gilt lim n→∞ an = 2.
1) IA. n=0
2) IA: n=0
$$a1=\sqrt{2+a0}=\sqrt{2+0}=\sqrt{2}>0$$ d.h. a1>a0
IB: Wir nehmen an, dass an>an-1 für irgendein n∈N0 gilt.
IS: zu zeigen: an+1>an.
Aus IB folgt:
$$an+1>an$$
$$\sqrt{2+an}>an$$
$$\sqrt{2}>0$$
Die Folge ist monoton steigend.
3) Sei $$a=\lim\limits_{n\to\infty}an$$ der Grenzwert.
$$\lim\limits_{n\to\infty} an+1=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+an}$$
$$\lim\limits_{n\to\infty}an+1=\sqrt{\lim\limits_{n\to\infty}2+an}$$
$$a=\sqrt{2+a}$$
a²-a-2=0
$$a=\sqrt{2+a}$$
$$2=\sqrt{2+2}$$
2=2
Das wären jetzt meine Ansätze, vielleicht kann mir jemand bei Aufgabe 1 helfen?
