Zeigen Sie das die Folge monoton steigend ist.

Question

Wir definieren rekursiv eine Folge nichtnegativer Zahlen durch a0 := 0 und an+1 := √2 + an für n∈N0.
Es ist also a1 =√2, $$a2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$$ , $$a3 =\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$ usw.
Zeigen Sie:
1) an ≤ 2 für alle n∈N0 (vollständige Induktion).
2) Die Folge (an)n∈N ist monoton steigend.
3) (an)n∈N ist konvergent und es gilt lim n→∞ an = 2.

1) IA. n=0

2) IA: n=0

        $$a1=\sqrt{2+a0}=\sqrt{2+0}=\sqrt{2}>0$$ d.h. a1>a0

  IB: Wir nehmen an, dass an>an-1 für irgendein n∈N0 gilt.

  IS: zu zeigen: an+1>an.

  Aus IB folgt:

   $$an+1>an$$

  $$\sqrt{2+an}>an$$

  $$\sqrt{2}>0$$

  Die Folge ist monoton steigend.

3) Sei $$a=\lim\limits_{n\to\infty}an$$ der Grenzwert.

  $$\lim\limits_{n\to\infty} an+1=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+an}$$

  $$\lim\limits_{n\to\infty}an+1=\sqrt{\lim\limits_{n\to\infty}2+an}$$

  $$a=\sqrt{2+a}$$

 a²-a-2=0

 $$a=\sqrt{2+a}$$

 $$2=\sqrt{2+2}$$

 2=2

Das wären jetzt meine Ansätze, vielleicht kann mir jemand bei Aufgabe 1 helfen?

Answer 1

1)

an ≤ 2 für alle n∈N0 (vollständige Induktion).

Vorbemerkung

$$a_{n+1}^2=2+a_n$$

Induktion Anfang

$$a_0=0≤2$$

Induktions Annahme

$$a_n≤2$$

$$2+a_n≤4$$

$$a_{n+1}^2≤4$$

$$a_{n+1}≤2$$

Induktions Schluss

3)

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n→a$$$$a^2=2+a$$$$a^2-a-2=0$$$$a=1/2+ \sqrt{1/4+8/4}$$$$a=1/2+3/2=2$$

Comments

Für Aufgabe 1? Hat ja eine Ähnlichkeit mit Aufgabe 3, oder?

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Entschuldigung, das war 3) 1) habe ich inzwischen ergänzt.

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Vielen Dank!