Kombinatorik und Siebformel

Question

Vor Beginn des Spiels verteilt der Schiedsrichter \( n \) Tennisbälle zufällig an \( r \) Ballkinder, wobei \( n \geq r \) gilt.
(a) (3P) Berechnen Sie für jedes \( J \subseteq\{1, \ldots, r\} \) die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ballkinder aus \( J \) keinen Tennisball bekommen.
(b) (5P) Zeigen Sie mithilfe der Siebformel und dem Resultat aus (a), dass mit Wahrscheinlichkeit
\( \sum \limits_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\left(\begin{array}{l}r \\ k\end{array}\right)\left(1-\frac{k}{r}\right)^{n} \)
mindestens ein Ballkind keinen Tennisball bekommt.

Comments

Wie ist die (a) zu verstehen? Da es nach dem ersten Satz immer mehr oder gleich viele Tennisbälle wie Ballkinder gibt, ist die Frage danach, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass alle Kinder keinen Tennisball bekommen, mir nicht ganz schlüssig.

Ist \(J=\{1,2,3\}\) dann haben wir mindestens drei Bälle: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Ballkinder einen Ball bekommt?

Verstehe ich nicht.