Vollständige Induktion: Problem beim Induktionsschritt

Question

Hallo Leute, ich habe ein Problem bei der vollständigen Induktion.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

$$ \sum \limits_{k=1}^{\ n} (2n-1)^2 = \frac{4}{3} n^3 -\frac{1}{3} n $$

Problem/Ansatz:

Den Induktionsanfang, die Induktionsannahme und den Anfang des Induktionsschrittes habe ich bereits getan, doch das richtige Ergebnis bekomme ich beim Induktionsschritt dennoch nicht raus.

Schon mal vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

$$ \sum \limits_{k=1}^{\ n+1} (2n-1)^2 $$
$$ \sum \limits_{k=1}^{\ n} (2n-1)^2 +(2n+1)^2$$

$$= \frac{4}{3} n^3 -\frac{1}{3} n +(2n+1)^2$$

$$= \frac{4}{3} n^3 +4n^2+\frac{11}{3} n +1$$

Und das vergleichen mit

$$ \frac{4}{3} (n+1)^3 -\frac{1}{3} (n+1) $$

Stimmt überein ! Bingo !

Comments

Vielen Dank !! Jetzt macht alles Sinn :D