Folgen auf Monotonie und Beschränktheit prüfen

Question

Hallo,
folgende Aufgabe soll ich lösen:
$$\text{Untersucht die folgenden Zahlenfolgen} \left(a_{n}\right) \text{mit n} \in \mathbb{N} \text{auf Monotonie} \\ \text{und Beschränktheit:}\\ a) a_{n}=\frac{1-2 n}{1+2 n}\\ b) b_{n}=\frac{n^{2}-2 n+1}{n-1}$$

Ich habe Aufgabe a versucht folgendermaßen bezüglich der Monotonie zu lösen:

$$ \begin{array}{l} a_{n}=\frac{1-2 n}{1+2 n} \\ a_{n+1}=\frac{1-2(n+1)}{1+2(n+1)}=\frac{1-2 n-2}{1+2 n+2}=\frac{-1-2 n}{3+2 n} \end{array}\\ \begin{aligned} &\text {Monotonie Vermutung} \rightarrow \text { monoton fallend }\\ &\text { zu zeigen: } \quad a_{n} \geq a_{n+1} \text { für }-\frac{1}{2} \end{aligned}\\ \begin{aligned} \Rightarrow \frac{1-2 n}{1+2 n} \geq \frac{-1-2n}{3+2 n} \end{aligned}\\ \begin{aligned} \Leftrightarrow \frac{1-\cancel{\text{2n}}}{1+\cancel{\text{2n}}} \geq \frac{-1-\cancel{\text{2n}}}{3+\cancel{\text{2n}}} \Leftrightarrow 1 \geq-\frac{1}{3}\\ \text{monoton fallend, da Nenner rechts größer als links und die Formel}\\  a_{n} \geq a_{n+1} \text{für mononton fallend gilt.} \end{aligned} $$

Bezüglich der Beschränktheit bei a würde ich sagen, dass es nach unten hin zu -1 beschränkt ist.

Jetzt meine Frage: Macht das Sinn? Wenn nicht, dann würde ich gerne wissen wie es richtig aussieht. Des Weiteren würde ich gern wissen, wie die Beschränktheit auszusehen hat bei a und b.

Answer 1

\(a_{n}> a_{n+1}\) kann man umformen zu \(a_n-a_{n+1}> 0\):

$$\begin{aligned}\frac{1-2n}{1+2n}-\frac{-1-2n}{3+2n}&=\frac{(1-2n)(3+2n)}{(1+2n)(3+2n)}-\frac{(-1-2n)(1+2n)}{(3+2n)(1+2n)}\\&=\frac{3+2n-6n-4n^2}{3+2n+6n+4n^2}-\frac{-1-2n-2n-4n^2}{3+2n+6n+4n^2}\\&=\frac{3-4n-4n^2+1+4n+4n^2}{3+8n+4n^2}\\&=\frac{4}{3+8n+4n^2}\end{aligned}$$ $$\frac{4}{3+8n+4n^2}> 0$$ gilt für \(n\in (-\frac{1}{2};\infty)\). Da bei Folgegliedern \(n\in\mathbb{N}\) ist, gilt das Ganze für alle natürlichen, endlichen Folgeglieder: \(n\in(0;\infty)\). Demnach ist die Folge (echt) monoton fallend.

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Dankeschön! Das hat sehr gut geholfen! :)

Answer 2

Hallo

dein Argument von links nach rechts wurde der Nenner vergrößerte der Zähler verkleinert ist richtig, die 2n so zu streichen ist falsch. deshalb auch dein Folgepfeil   also einfach direkt mit de  2 Brüchen argumentieren,

für große n kürze durch n und du siehst dass es sich -1 nähert, das ist also eine untere Schranke ,ja aber das müsstest du noch zeigen, also  Bruch >-2 für alle n zeigen.

zu bn , für n=1 nicht definiert, danach denk an die binomische Formel

Gruß lul

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Hallo lul,

ich bin ein bisschen verwirrt von deiner Antwort. Die Satzstellung ist irgendwie komisch bzw. deine Grammatik. Ich hab das jetzt nicht so richtig verstanden, was du vor allem im ersten Teil meinst. Sorry :)

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hallo

deine 2 Brüche die du vergleichst steht einer links , einer rechts, du hast denn Nenner des linken also a_n vergrößert   um zum rechten a_n+1 zukommen , zusätzlich den Zahler verkleinert, also ist a_n+1 wirklich kleiner als a_n, aber einfach in den Brüchen 2n wegzustreichen ist falsch du folgerst 1>-1/3  deshalb a_n>a_n+1 aber a_n<=-1/3 für alle n>=1

jetzt klarer.?

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Yes :) dankeschön!