Aussagen mit Quantoren negieren

Question

Aufgabe:

Schreib mithilfe von Quantoren

a) jede natürliche Zahl ist gerade oder ungerade.

b) jede natürliche Zahl ist als Quadrat einer ganzen Zahl darstellbar.

Welche sind wahr welche sind falsch? Negiere mit Quantoren und Worten.

Problem/Ansatz:

a) ∀ n∈ℕ ∃ m∈ℕ: n=2m v n=2m+1

b) ∀ n∈ℕ ∃ z∈ℤ : n=z²

^{a) ist wahr}

^{b) ist falsch}

^{Es gibt mindestens eine natürliche Zahl die nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellbar ist.}

^{∃ n∈ℕ, z∈ℤ: n ≠z^2}

^{Wäre das so richtig ?}

Answer 1

Negation von a)

in Worten: Es gibt eine nat. Zahl die weder gerade noch ungerade ist

mit Quantoren :    ∃ n∈ℕ, ∀ z∈ℕ :  n ≠2z   ∧     n ≠2z+1

Negation von b)

Es gibt mindestens eine natürliche Zahl die nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellbar ist.

∃ n∈ℕ, ∀ z∈ℤ: n ≠z^2

Comments

Also der all Quantor wir zum Existenz und umgekehrt, richtig ?

Answer 2

Negation von

        ∀ x φ

ist

         ∃ x ¬φ.

Negation von

        ∀ n∈ℕ ∃ z∈ℤ : n=z²

ist also

    ∃ n∈ℕ ¬∃ z∈ℤ : n=z².

Negation von

    ∃ x φ

ist

    ∀ x ¬φ.

Also ist

    ¬∃ z∈ℤ : n=z²

äquivalent zu

        ∀ z∈ℤ : ¬n=z².

Die Negation von

    ∀ n∈ℕ ∃ z∈ℤ : n=z²

ist also

    ∃ n∈ℕ ∀ z∈ℤ : ¬ n=z².

Comments

Okay super danke