Zeigen Sie, dass −M nach unten beschränkt ist, wenn M nach oben beschränkt ist, und dass in diesem Fall

Question

Aufgabe:

Für eine nichtleere Teilmenge M ⊂ R setzen wir −M := {x ∈ R | −x ∈ M}.
Zeigen Sie, dass −M nach unten beschränkt ist, wenn M nach oben beschränkt ist, und dass in diesem Fall
inf(−M) = − sup(M) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung, wie diese Aufgabe funktioniert und was ich mir darunter vorstellen soll.

Answer 1

Aus \(\sup M \geq a\) für alle \(a\in M\) folgt zunächst \(-\sup M \leq -a\) für alle \(a\in M\) oder, was dasselbe ist, \(-\sup M\leq b\) für alle \(b\in -M\). Folglich ist \(-\sup M\) eine untere Schranke von \(-M\), und es ist nur noch zu zeigen, dass es die größte untere Schranke ist.

Sei dazu \(S\) eine weitere untere Schranke von \(M\). Dann gilt \(S\leq b\) für alle \(b\in -M\). und somit \(-S\geq a\) für alle \(a\in M\), also ist \(S\) eine obere Schranke von \(M\) und damit \(-S\geq \sup M\). Es folgt \(S\leq -\sup M\). Somit ist \(-\sup M\)  tatsächlich die größte untere
Schranke von \(M\), d. h. \(-\sup M=\inf (-M)\), was zu zeigen war.