Definitionsbereich von f : R → R mit f(x) = |x| + 3 so ändern, dass die Funktion bijektiv wird?

Question

Geben Sie für folgende Funktionen an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv sind!
Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv bzw. surjektiv
wird.

(b) f : R → R mit f(x) = |x| + 3.

Damit die Funktion bijektiv wird, müsste der Definitionsbereich auf R+, y>=3 geändert werden.

Wolfram Alpha gibt mir allerdings einfach nur y>=3 als Definitionsbereich an, wenn aber auch negative x erlaubt sind, kann die Funktion ja nicht injektiv sein? Wo liegt bei mir der Denkfehler?

Comments

D = {-5} ;  W = {8}

Answer 1

Aloha :)

Surjektiv bedeutet ja, dass jedes Element der Wertemenge mindestens 1-mal erreicht wird. Da \(|x|+3\ge3\) ist, müssen wir also die Wertemenge anpassen:$$f_1:\,\mathbb R\to\mathbb R^{\ge3}\,:\,f(x)=|x|+3$$Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Bildmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wegen \(f(x)=f(-x)\) müssen wir daher auch die Definitionsmenge anpassen:$$f_2:\,\mathbb R^{\ge0}\to\mathbb R^{\ge3}\,:\,f(x)=|x|+3$$Jetzt ist die Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv und damit auch bijektiv.