Monotonieverhalten e-Funktion

Question

für welchen Teil des Definitionsbereiches ist die Funktion f(x)=e^{(4x^5-5x^4)}  (streng) monoton steigend bzw. fallend?

f'(x)=(20x⁴ - 20x³)*e^{(4x^5-5x^4)}

f''(x)=(80x³-60x²)*e^{(4x^5-5x^4)}+(20x4 - 20x3)²*e^{(4x^5-5x^4)}

Bei "einfachen" Funktionen komme ich mit f'(x)=0 oder/und f''(x)=0 immer auf das Monotonieverhalten aller |R. Leider aber bei e-Funktionen nicht.

Wenn ich f '(x)=0 setze kommt bei mir

(20x⁴ - 20x³)*e ^{(4x^5-5x^ 4)} = 0      |: e^{(4x^5-5x^4}

⇔20x⁴-20x³=0

⇔ x=1    (?!)  raus, also streng monoton steigend für (1,∞). Das spiegelt der Graph auch wieder.

Aber wie komme ich mit Hilfe der Differentialrechnung auf die anderen Teile und ihr Monotonieverhalten des Graphens?

 

Vielen Danke für Ihre/Eure Mühen !

Answer 1

  20x⁴-20x³=0 daraus folgt
   x * ( 20x^3 - 20 x^2 ) = 0  => x = 0
  ( 20x^3 - 20 x^2 ) = 0  => x = 0
  ( 20x^2 - 20 x ) = 0  => x = 0
  20x- 20  = 0
  x = 1

  Also haben wir 2 Punkte mit horizontaler Tangente
  Monotonie > 0
  20x⁴-20x³ > 0   l : 20
  x^4 - x^3 > 0
  x^4 > x^3  l gilt für alle negativen x

  für alle positiven x gilt
  x^4 > x^3  l : x^3
  x > 1
  Monotonie
  -∞ < x < 0 : steigend
   0 < x < 1 fallend
   1 < x < ∞ : steigend

  x =0 Hochpunkt
  x = 1 Tiefpunkt

  mfg Georg