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Hallo zusammen,

folgende Funktionen sollen bis zur 3. Ordnung entwickelt werden um die angegebenen Punkte x0.

t

Lösungsansatz:
t2

Wie geht man bei Taylor-Entwicklungen vor?



von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hier mal meine Berechnungen soweit:

Taylor-Entwicklung: f(x) = COS(x), x0 = 0

f(x) = COS(x)

f'(x) = - SIN(x)

f''(x) = - COS(x)

f'''(x) = SIN(x)

 

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·x + f''(x0)/2!·x^2 + f'''(x0)/3!·x^3

T(x) = (COS(0))/1 + (- SIN(0))/1·x + (- COS(0))/2·x^2 + (SIN(0))/6·x^3

T(x) = 1 - x^2/2

 

Skizze

skizze 1


https://docs.google.com/document/d/18-KueqC5Gh4WOgDzKvjdNZj4JQzT2uegNrvEFKVTH7A/pub

und:

Taylor-Entwicklung: f(x) = LN(x), x0 = 1

f(x) = LN(x)

f'(x) = 1/x

f''(x) = - 1/x^2

f'''(x) = 2/x^3

 

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·(x - 1) + f''(x0)/2!·(x - 1)^2 + f'''(x0)/3!·(x - 1)^3

T(x) = (LN(1))/0! + (1/1)/1!·(x - 1) + (- 1/1^2)/2!·(x - 1)^2 + (2/1^3)/3!·(x - 1)^3

T(x) = 0 + 1·(x - 1) - 1/2·(x - 1)^2 + 1/3·(x - 1)^3

T(x) = 1/3·x^3 - 3/2·x^2 + 3·x - 11/6

 

Skizze

Skizze 2

https://docs.google.com/document/d/1gpTtkhMnfODi5gVkQEzXxua291Hm7pTW2kCgvArJp-s/pub
 

bei c) bräuchte man nur ausmultiplizieren und man hat das Taylor-Polynom 3. Ordnung.

f(x) = 2·x·(x - 1)^2 = 2·x^3 - 4·x^2 + 2·x

Du könntest hier mal die Taylorentwicklung machen.

von 271 k

Hallo Der_Mathecoach,

vielen Dank für deine schnelle Antwort! Also, obwohl ich zum allerersten Mal Aufgaben zu Taylor-Entwicklungen bearbeite, kann ich Dank deiner ausführlichen Berechnung einen Algorithmus erlernen, also wie man generell solche Aufgaben berechnen kann. Ich versuche nun c) zu berechnen:

c)
Taylor-Entwicklung: f(x)=2x(x-1)², x0 = 1
f(x)=2x(x-1)²=2x³-4x²+2x
f´(x)=6x²-8x+2
f''(x)=12x-8
f'''(x)=12

Taylor-Polynom

T(x) = f(x0)/0! + f'(x0)/1!·(x - 1) + f''(x0)/2!·(x - 1)^2 + f'''(x0)/3!·(x - 1)^3

T(x) = (2*1³-4*1²+2*1)/0! + (6*1²-8*1+2)/1!·(x - 1) + (12*1-8)/2!·(x - 1)^2 + (12)/3!·(x - 1)^3

T(x) = 0 + 0·(x - 1) - 2·(x - 1)^2 + 2·(x - 1)^3

T(x) = 2(x-1)²+2(x-1)³
= 2(x²-2x+1)+2(x³-3x²*(-1)+3x*(-1)²-(1)³
= 2x²-4x+2+2(x³+3x²+3x-1)
= 2x²-4x+2+2x³+3x²+3x-1
= 2x³+5x²-x+1

f
 

Rein Grafisch sieht das Taylor-Polynom aber verkehrt aus.

T(x) = (2·1^3 - 4·1^2 + 2·1)/0! + (6·1^2 - 8·1 + 2)/1!·(x - 1) + (12·1 - 8)/2!·(x - 1)^2 + 12/3!·(x - 1)^3
T(x) = 0 + 0·(x - 1) + 2·(x - 1)^2 + 2·(x - 1)^3
T(x) = 2·(x - 1)^2·(1 + (x - 1))
T(x) = 2·(x - 1)^2·x = 2·x·(x - 1)^2

Es kommt hier also exakt die gleiche Funktion heraus.

Stimmt, ein riesen Müll habe ich da geschrieben. Der 3. Schritt war noch in Ordnung, aber dann beginnt das Dilemma. Aus Gewohnheit wollte ich alles ausmultiplizieren... Danke nochmals für deine Unterstützung Der_Mathecoach und verbleibe  

 
Hm, du rechnest hier aber, wie du oben geschrieben hast, mit x0 = 1. Sollst du aber nicht nach Aufgabenstellung mit x0 = 2 bzw. was passiert wenn man x0 = 3 einsetzt rechnen? Oder haben ich mich da verschaut?

Grüße
Ne du hast recht. es ist mit x0 = 2 zu rechnen. Ich habe es mir x0 = 1 gemacht. Aber es ist egal an welcher Stelle man es macht. Wenn man eine Funktion 3. Grades durch ein Tylorpolynom dritten gerades nähert, kommt immer das ursprüngliche Polynom heraus.
ahhh, super danke, jetzt hats klick gemacht :)

Ich habe mich auch gerade gewundert. Ich wollte die Aufgabe aufschreiben und habe festgestellt, dass statt x0=2, x0=1 steht. Aber, das Problem hat sich aufgelöst, da du es bereits gut erklärt hast (Regel Taylorpolynom 3.Grades).

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