Aloha :)
Die Funktion \(F(x,y)\) soll unter der Nebenbedingung \(g(x,y)\) optimiert werden, wobei:$$F(x,y)=15x^2+80xy+20y^2\quad;\quad g(x,y)=80x+96y-3159\stackrel!=0$$Der Lagrange-Formalismus sagt uns, dass in den Extrema die beiden Gradienten von Funktion und Nebenbedingung bis auf einen Faktor, den sog. "Lagrange-Multiplikator" \(\lambda\), gleich sein müssen:$$\operatorname{grad}F(x,y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}{g(x,y)}\quad\Leftrightarrow\quad\binom{30x+80y}{80x+40y}=\lambda\cdot\binom{80}{96}$$
Da hier nach der Größe des Lagrange-Multiplikators gar nicht gefragt ist, können wir ausnutzen, dass die beiden Gradienten nur dann kollinear sein können, wenn sie parallel oder anti-parallel zueinander liegen. Die von den beiden Gradienten aufgespannte Fläche muss also null sein. Das bedeutet, dass die Determinante aus beiden Gradienten null sein muss:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{r}30x+80y & 80\\80x+40y & 96\end{array}\right|=96\cdot(30x+80y)-(80x+40y)\cdot80=-3520x+4480y$$$$\Rightarrow\quad3520x=4480y\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4480}{3520}y=\frac{14}{11}y$$Diese Forderung setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:
$$3159=80x+96y=80\cdot\frac{14}{11}y+96y=\frac{2176}{11}y\quad\Rightarrow\quad y=3159\cdot\frac{11}{2176}\approx\boxed{15,9692}$$
Vom Faktor \(y\) werden also \(15,9692\) Einheiten benötigt. Durch Einsetzen dieses \(y\) in die Nebenbedingung erhält man auch noch den Bedarf an Faktor \(x\) zu \(20,3244\) Einheiten, aber danach ist ja nicht gefragt.
