Grenzwerte einer Exponentialfunktion

Question

: Grenzwert der Funktion f(x)= 8x*e^(-x) berechnen

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathelounge Community,

Leider weiß ich nicht so wirklich wie ich den Grenzwert bei einer Exponentialfunktion bestimmen kann. Wäre nett, wenn der ein oder andere mir den Rechenweg dazu erklären könnte und die Grenzwerte bestimmen könnte

Lg,

Euer Mathenoob

Answer 1

Hallo

e^-x fällt für x->oo stärker als jede Potenz von x, wenn du das zeigen musst dann mit der Reihe für e^x

dass  e^-x  für x-> -oo gegen oo geht ist dir wohl klar?

im Zweifelsfall lässt man sich sowas plotten  z,B, mit plotlux und sieh was passiert!

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Weil wir den Grenzwert für \(x\to\infty\) suchen, sei im Folgenden \(x>0\) vorausgesetzt. Die Exponentialfunktion lautet:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots>1+x+\frac{x^2}{2}$$$$e^x>e^x-1>x\left(1+\frac{x}{2}\right)=x\cdot\frac{x+2}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{e^x}{x}>\frac{x+2}{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{e^x}<\frac{2}{x+2}$$$$8x\cdot e^{-x}=\frac{8x}{e^x}<8\cdot\frac{2}{x+2}=\frac{16}{x+2}\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{x\to\infty}\left(8x\cdot e^{-x}\right)=0$$