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ich soll folgendes zeigen:


Wenn k=0Dk \sum_{k=0}^\infty D^k  mit D=diag(d1,,dn) D=diag(d_1, \ldots, d_n) und d1,,dn<1|d_1|, \ldots, |d_n| <1  konvergiert, dann konvergiert auch die Neumann-Reihe k=0Bk \sum_{k=0}^\infty B^k  zu jeder zu DD ähnlichen Matrix B B .


Ich weiß, dass ich B=S1DS B=S^{-1}DS schreiben kann, allerdings weiß ich nicht wie mich das hier weiter bringt.


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Schreib einfach mal BB und BBB ...hin und vereinfache

Gruß

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Es ist B2=BB=(S1DS)(S1DS)=S1D(SS1)DS=S1D2SB^2=B\cdot B=(S^{-1}DS)(S^{-1}DS)=S^{-1}D(SS^{-1})DS=S^{-1}D^2S.
Induktiv folgt Bk=S1DkSB^k=S^{-1}D^kS. Damit istk=0Bk=k=0S1DkS=S1(k=0Dk)S.\sum_{k=0}^\infty B^k=\sum_{k=0}^\infty S^{-1}D^kS=S^{-1}\left(\sum_{k=0}^\infty D^k\right)S.

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