Menge die Ungleichung erfüllt

Question

Aufgabe: Menge x∈ℝ bestimmen die die Ungleichung erfüllt:

3|x²-3| < x|x+$\sqrt{3}$ |

Hoffe jemand kann mir helfen LG

Answer 1

Aloha :)

$$\left.3\left|x^2-3\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right|\quad\text{3-te binomische Formel links}$$$$\left.3\left|(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right|\quad|a\,b|=|a|\,|b|$$$$\left.3\left|x-\sqrt3\right|\,\left|x+\sqrt3\right|<x\,\left|x+\sqrt3\right|\quad\right.$$Für $(x=-\sqrt3)$ ist $|x+\sqrt3|=0$ und die Ungleichung wird zu $0<0$, was sicher nicht erfüllt ist. Schließen wir dieses $x$ im Folgenden aus, fordern also $x\ne-\sqrt3$, so ist $|x+\sqrt3|>0$ und wir können beide Seiten durch diesen Term dividieren, ohne dass sich das Relationszeichen ändert:$$\left.3\left|x-\sqrt3\right|<x\quad\right|\quad:\,3$$$$\left.\left|x-\sqrt3\right|<\frac{x}{3}\quad\right.$$Da der Betrag auf der linken Seite stets $\ge0$ ist, existieren nur Lösungen, wenn die rechte Seite $>0$ ist [beachte, dass $=0$ nicht geht, weil $0\not<0$ ist]. Daher muss $\frac{x}{3}>0$ bzw. $x>0$ gelten. Diese Forderung schließt die von oben, nämlich $x\ne-\sqrt3$, mit ein. Sei ab jetzt also $x>0$. Wir lösen die Betragsfunktion auf:$$-\frac{x}{3}<x-\sqrt3<\frac{x}{3}\quad;\quad x>0$$Wir addieren $\frac{x}{3}+\sqrt3$ und vereinfachen zu:$$\sqrt3<\frac{4}{3}x<\frac{2}{3}x+\sqrt3\quad;\quad x>0$$Das erste Kleiner-Zeichen liefert uns als Bedingung:$$\sqrt3<\frac{4}{3}x\implies x>\frac{3\sqrt3}{4}$$Das schließt insbesondere unsere bisherige Forderung $x>0$ mit ein. Das zweite Kleiner-Zeichen liefert uns als Bedingung:$$\frac{4}{3}x<\frac{2}{3}x+\sqrt3\implies\frac{2}{3}x<\sqrt3\implies x<\frac{3\sqrt3}{2}$$Fassen wir beide Forderungen zusammen, erhalten wir als Lösungen:$$\boxed{x\in\left(\frac{3\sqrt3}{4}\;;\;\frac{3\sqrt3}{2}\right)}$$

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f₁(x) = 3·abs(x²-3)f₂(x) = x·abs(x+√(3))x = 3*√(3)/4x = 3*√(3)/2Zoom: x(-3…4) y(-2…15)

Comments

Vielen herzlichen dank! :)

Answer 2

Du musst Fallunterscheidungen machen, und zwar $x \ge \sqrt{3}$ und $x < \sqrt{3}$