Sei f : X → Y eine Abbildung und sei Z eine Menge Zeigen Sie, dass folgende Aussagen aquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Sei f : X → Y eine Abbildung und sei Z eine Menge

(b) Zeigen Sie, dass folgende Aussagen aquivalent sind:
(i) f ist surjektiv.
(ii) Es gibt eine Abbildung g : Y → X mit f°g = id_Y :
(iii) Seien h1, h2 : Y → Z Abbildungen, dann gilt (h1°f = h2°f)⇒(h1=h2)
Problem/Ansatz:

Äquivalenz von

i und ii bekomm ich hin, bei ii auf iii oder umgekehrt und passend dazu iii auf i hänge ich leider komplett.

Answer 1

ich hätte einen Vorschlag für \( ii) \to iii) \):

Seien \( g: Y \to X \) mit \( (f \circ g) = id_Y \) sowie \( h_1,h_2:Y \to Z \) mit \( h_1 \circ f = h_2 \circ f \) gegeben. Wir wollen zeigen, dass dann \( h_1 = h_2 (*)\) gilt.

\( h_1 = h_1 \circ id_Y \)

    \(\stackrel{ii)}{=} h_1 \circ (f \circ g) \)

    \(= (h_1 \circ f) \circ g \)

    \(\stackrel{(*)}{=} (h_2 \circ f) \circ g \)

    \(= h_2 \circ (f \circ g) \)

    \(\stackrel{ii)}{=} h_2 \circ id_Y \) \(= h_2. \)

Über die anderen Richtungen muss ich nochmal nachdenken.

Lg

Comments

Vielen Dank!

Lg