DGL: x y'=y ln(x/y) lösen

Question

könntet ihr mir vielleicht helfen diese DG zu lösen?

$$xy'=y*ln(\frac{x}{y})$$

Ich bin gerade dabei eine passende Substitution zu finden, aber leider klappt es nicht, z.B. hat a=x/y als Substitution nicht geklappt:(

VG

Comments

Zeig doch mal, was nicht geklappt hat

Gruß

Answer 1

Hallo,

aber leider klappt es nicht, z.B. hat a=x/y als Substitution nicht geklappt:(

---> doch diese Substitution ist aber richtig.

Ich setze für a mal z , ist aber egal:

z=y/x

y= z*x

y'= z+z'x

->einsetzen in die Aufgabe:

x( z+z'x)= y *ln(1/z)

x z +z'x^2 = zx *(ln(1) -ln(z)) ; ln(1)=0

x z +z'x^2 =- zx  ln(z)) |-xz

z'x^2  = -zx(1+ln(z))

dz/(-z(1+ln(z))= dx/x

Lösung via Trennung der Variablen

Tipp Lösung linkes Integral: v=ln(z) +1

zum Schluß noch resubstituieren