Rotationssymmetrisches Staubecken: Bestimmen Sie a und zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.

Question

Aufgabe:

Ein rotationssymmetrisches Staubecken hat eine Parabel mit der Gleichung \( \mathrm{y}=\mathrm{a} \mathrm{x}^{2} \) als Berandung des Querschnitts.

a) Beim Wasserstand \( 5 \mathrm{~m} \) hat die Wasseroberfläche einen Durchmesser von \( 20 \mathrm{~m} \). Bestimmen Sie a und zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem.

b) Berechnen Sie das Volumen des Beckens beim höchsten Wasserstand von \( 8 \mathrm{~m} \).

Answer 1

Beim Wasserstand \( 5 \mathrm{~m} \)

Setze 5 für y ein.

hat die Wasseroberfläche einen Durchmesser von \( 20 \mathrm{~m} \).

Setze 20/2 für x ein.

Löse die Gleichung.

Comments

Laut Lösung so:

a) Die Punkte \( P(-10 \mid 5) \) und \( Q(10 \mid 5) \) liegen auf der Parabel. Eingesetzt ergibt dies \( 5=a \cdot 100, \) also \( a=\frac{5}{100}=0,05 \) Gleichung der Parabel: \( \mathrm{y}=0,05 \cdot \mathrm{x}^{2} \)

b) Für die Rotation um die x-Achse betrachten wir den Graphen der Umkehrfunktion mit \( \mathrm{y}=\sqrt{20 \mathrm{x}} \) \( V=\pi \cdot \int \limits_{0}^{8}(\sqrt{20 x})^{2} d x=\pi \cdot \int \limits_{0}^{8} 20 x d x=\pi \cdot\left[10 x^{2}\right]_{0}^{8} \)
\( V=640 \cdot \pi \approx 2020,62 \)

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Ja, genau so!