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Aufgabe:

Grenzwert von n+1/n3+4n-8 soll berechnet werden


Problem/Ansatz:

Der grenzwert ist gleich null, kann man das mit dem sandwich lemma satz zeigen? Wenn ja wie?

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Aloha :)

Wir suchen den Grenzwert für nn\to\infty von der Folgean=n+1n3+(4n8)a_n=\frac{n+1}{n^3+(4n-8)}Wir nehmen a1a_1 aus der Betrachtung heraus, weil dies für den Grenzwert nicht relevant ist. Sei also im Folgenden n2n\ge2. Dann gilt:0<(1)an=n+1n3+(4n8)(2)n+1n3<(3)2nn3=2n200\stackrel{(1)}{<}a_n=\frac{n+1}{n^3+(4n-8)}\stackrel{(2)}\le\frac{n+1}{n^3}\stackrel{(3)}{<}\frac{2n}{n^3}=\frac{2}{n^2}\to0Die Überlegungen zu den einzelnen Schritten sind:

(1) Wegen n2n\ge2 ist (4n8)0(4n-8)\ge0. Daher sind sowohl der Zähler als auch der Nenner von ana_n positiv, sodass ana_n für alle n2n\ge2 positiv ist.

(2) Wenn wir im Nenner (4n8)0(4n-8)\ge0 weglassen, wird durch weniger dividiert und der Qotient wird größer.

(3) Wenn wir den Zähler von n+1n+1 auf n+n=2nn+n=2n vergrößern, wird der Quotient größer.

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Woher kommen die 2n-8?

Ich hab mich verschrieben... es muss natürlich 4n-8 heißen... Die Argumentation bleibt aber dieselbe. Ich habe das korrigiert.

Sorry für den Bug ;)

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