\(\begin{aligned} & 2a+\left(\left(3b+a\right)\cdot b+4\right)\cdot a & & \text{Distributivgesetz}\\ =\, & 2a+\left(\left(\left(3b+a\right)\cdot b\right)\cdot a+4a\right) & & \text{Kommutativgesetz }+\\ =\, & 2a+\left(4a+\left(\left(3b+a\right)\cdot b\right)\cdot a\right) & & \text{Assoziativgesetz }\cdot\\ =\, & \left(2a+4a\right)+\left(\left(3b+a\right)\cdot b\right)\cdot a & & \text{Distributivgesetz}\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(\left(3b+a\right)\cdot b\right)\cdot a & & \text{Distributivgesetz}\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(\left(3b\right)\cdot b+ab\right)\cdot a & & \text{Assoziativgesetz }\cdot\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(3\left(bb\right)+ab\right)\cdot a & & \text{Distributivgesetz}\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(\left(3\left(bb\right)\right)\cdot a+\left(ab\right)\cdot a\right) & & \text{Assoziativgesetz }\cdot\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(3\left(\left(bb\right)\cdot a\right)+a\cdot\left(b\cdot a\right)\right) & & \text{Kommutativgesetz }\cdot\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(3\left(a\cdot\left(bb\right)\right)+a\cdot\left(a\cdot b\right)\right) & & \text{Assoziativgesetz }\cdot\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(3\left(a\cdot\left(bb\right)\right)+\left(a\cdot a\right)\cdot b\right) & & \text{Definition Potenzen}\\ =\, & \left(2+4\right)a+\left(3\left(ab^{2}\right)+a^{2}b\right) & & \text{Konvention "Klammern einspaaren"}\\ =\, & \left(2+4\right)a+3ab^{2}+a^{2}b & & \text{Ausrechnen}\\ =\, & 6a+3ab^{2}+a^{2}b \end{aligned}\)
Die letzten drei Umformungen greifen nicht mehr direkt auf die neun Körperaxiome zurück, sondern indirekt. Die Konvention "Klammern einspaaren" funktioniert wegen des Assoziativgesetzes. Die Konvention "Punkt- vor Strichrechnung" habe ich stillschweigend verwendet, weil das auch in der Aufgabenstellung so gemacht wurde. Der Schritt "Ausrechnen" ist nur dann richtig, wenn 2+4=6 ist.
