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Aufgabe:

Gegeben ist g: A -> B eine Funktion.

Jetzt muss ich beweisen, dass wenn g ein gerades reelles Polynom vom Grad N ist, jede reelle Nullstelle ungleich 0 maximal die algebraische Vielfachheit von N/2 besitzt.


Problem/Ansatz:

Das hat ja irgendwas mit der Linearfaktorzerlegung zu tun, aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

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In der Überschrift steht was von "gerade", in der Aufgabe nicht ???

Ja sorrry ich meinte ein gerades reelles Polynom.

1 Antwort

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Beste Antwort

"gerade" heißt ja: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

==>  wenn a>0 eine Nullstelle ist, dann auch -a.

Also gibt es zu jeder reellen Nullstelle a ungleich 0 eine zweite

nämlich -a . Und weil a≠0 ist, sind die beiden verschieden.

Jede davon führt zu einem Linearfaktor (x-a) bzw. (x+a) ,

Und die treten wegen der Symmetrie beide mit der gleichen algebraischen

Vielfachheit auf. Da es aber insgesamt höchsten (mit der Vielfachheit gerechnet)

N Linearfaktoren geben kann, bleibt für jede Sorte  höchstens N/2.

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