Bogenlängen von 2-/3-dimensionalen Kurven berechnen

Question

Folgende Aufgabe:

Ermitteln Sie die Bogenlängen der folgenden 2- und 3-dimensionalen Kurven:

(a)  (x(t), y(t))  =  (1−cos(t), t−sin(t)), 0≤ t ≤ 2π,
(b)  (x(t), y(t), z(t))  =  (sin(2π*t), cos(2π*t), 2t), 0 ≤ t ≤4.
Hinweis: Für (a) können Sie 1−cos(t) = 2sin^2(t/2) verwenden.

Problem/Ansatz:
Habe leider keine Ahnung, wie ich das ermitteln soll. Kann jemand bitte helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$\vec r(t)=\binom{1-\cos t}{t-\sin t}\quad;\quad t\in[0;2\pi]$$

$$L=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(2\pi)}\left|d\vec r\right|=\int\limits_0^{2\pi}\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\left\|\binom{\sin t}{1-\cos t}\right\|\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2t+(1-\cos t)^2}\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2t+1-2\cos t+\cos^2t}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}2\sin\left(\frac{t}{2}\right)dt$$Bei dem letzten Gleichheitszeichen haben wir den Tipp verwendet, und weiter gehts:$$\phantom{L}=2\left[-2\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right]_0^{2\pi}=-4\left[\cos(\pi)-\cos(0)\right]=-4\cdot(-2)=8$$

Kriegst du damit Teil (b) alleine hin? Falls nicht, frag bitte einfach nochmal nach...

Comments

Super, danke. :)

b habe ich, denke ich

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Bei der (b) sieht der Integrand so aus:

$$\left\|\begin{pmatrix}2\pi\cos(2\pi\,t)\\-2\pi\sin(2\pi\,t)\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4\pi^2+4}=2\sqrt{\pi^2+1}$$Da dort ken $t$ mehr vorkommt und das Integral über das Intervall $t\in[0;4]$ berechnet werden soll, lautet ide Länge der Kurve:$$L=8\sqrt{\pi^2+1}\approx26,3753$$

Das könnte zu deinem Ergebnis passen. Du hast es offensichtlich hingekriegt. Sehr schön!

Answer 2

Hallo,

warum nicht erst einmal recherchieren?$$L=\int \limits_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \mathrm{d}t$$$$L=\int \limits_{a}^{b}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\mathrm{d}t$$