Äquivalenzrelation zeigen und Klassen? Relation ∼ auf Z, definiert für a,b ∈ Z als a ∼ b :⇔ 3 | (a−b).

Question

Betrachten Sie die Relation ∼ auf Z, definiert für a,b ∈ Z als a ∼ b :⇔ 3 | (a−b).

Zeigen Sie: ∼ ist eine Äquivalenzrelation mit Äquivalenzklassen [0], [1] und [2]

Answer 1

a ∼ b :⇔ 3 | (a−b).

Prüfe die drei Eigenschaften:

reflexiv:   gilt für alle a ∈ Z

                a ∼ a        ?

Ja; denn  3 | 0 .

symmetrisch: gilt für alle a ∈ Z    

                  a ∼ b      ==>     b ∼ a  

Ja, weil aus 3 | (a−b)   folgt  3 | (b - a)

transitiv :    a ∼ b  ∧   b ∼ c ==>     a ∼ c  

Das bekommst du auch hin !