Hallo,
Denke Dir 6 Schubladen und markiere diese mit den Nummern 0 bis 5. Nehme nun irgendeine ganze Zahl - z.B. die 21 - und bilde den Rest bei der Division durch 6. In diesem Fall ...21≡3mod6... ist dies die 3. Also landet die 21 in der Schublade mit der Nummer 3. Machst Du das für weitere 6 Zahlen - also in Summe für 7 Zahlen - so werden sich in mindestens einer Schublade mindestens zwei Zahlen befinden.
Ziehst Du diese beiden Zahlen von einander ab, so ist die Differenz durch 6 teilbar, da beide einen gemeinsamen Rest r haben. Sei die eine Zahl x=6m+r und die zweite y=6n+r mit n,m∈Z, so ist die Differenz dd=∣6m+r−(6n+r)∣=6∣m−n∣⟹6∣d