Bestimme eine Basis vom Kern ker(A) ⊆ ℝ ^{4}

Question

Es sei die reelle 4 X 4 - Matrix

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

gegeben.

Bestimme eine Basis vom Kern ker(A) ⊆ \(ℝ ^{4} \)

Answer 1

Aloha :)

Die dritte Zeile liefert: \(x_3=0\).

Die zweite Zeile liefert: \(2x_3+x_4=0\implies 2\cdot0+x_4=0\implies x_4=0\)

Die erste Zeile liefert: \(2x_1+x_2+x_4+x_4=0\implies 2x_1+x_2=0\implies x_2=-2x_1\)

Fassen wir zusammen:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2x_1\\0\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\0\end{pmatrix}$$Der Kern besteht also aus nur einem Basis-Vektor.

Answer 2

Von unten nach oben

x4 = t     x3= 0  dann aber auch x4=0

also bleibt frei nur x2=t und 2x1 + t = 0

==>  x1= -t/2 .

Basis also ( -1/2  ;  1 ; 0   ; 0 )