Hier ist die ganze Aufgabe und es geht nur um die c. um die Basis genauer gesagt.
Gegeben ist die Ebene
$$ E: 3x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 $$
in ℝ³.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von E.
b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung P der Orthogonalprojektion auf die Ebene E bezüglich der kanonischen Basis des ℝ³.
c) Bestimrnen Sie Rang(P) und eine Basis von ker(P).
Ich habe P ausgerechnet und das ist richtig, da die "Musterlösung" die ich habe auch so ist.
P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 6 & 10 & 2 \\ -3 & 2 & 13 \end{pmatrix}
$$P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 6 & 10 & 2 \\ -3 & 2 & 13 \end{pmatrix} $$
Die Dreiecksform ist wie folgt und hieraus erkennt man, dass der Rang = 2 ist.
$$P=\begin{pmatrix} 5 & 6 & -3 \\ 0 & 14/5 & 28/5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Es geht um eine Basis von ker(P) wie oben schon erwähnt.
Ich habe für x_3 in dieser Kern-Matrix \(\lambda\) genommen.
Dadurch ist x_1 = -9/5 \(\lambda\) und x_2 = 2\(\lambda\).
Meine Lösung ist: ker(P) = {\(\lambda * \begin{pmatrix} -9/5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)}
Stimmt das oder geht das bei Projektionen anders? Denn in der Lösung haben die einfach den Nomralenvektor der Ebene E genommen. also \(\lambda\)·\(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
