Nein, sorry, aber dein Taylorpolynom kann nicht stimmen, weil es an der Entwicklungsstelle x=1 mit der vorgegebenen Funktion übereinstimmen muss.
Die vorgegebene Funktion f ( x ) = ln ( x / 3 ) - 2 / x aber hat an der Stelle x = 1 den Wert
f ( 1 ) = -3,0986...
Dein Polynom T2 ( x ) hingegen liefert an der Stelle x = 1 den Wert
T2 ( 1 ) = + 3,0986
Das korrekte Taylorpolynom von f an der Entwicklungsstelle x = 1 ist
T2 ( x ) = f ( 1 ) + ( f ' ( 1 ) / 1! ) * ( x - 1 ) + ( f ' ' ( 1 ) / 2! ) * ( x - 1 ) 2
mit f ' ( x ) = ( x + 2 ) / x 2 und f ' ' ( x ) = - ( x + 4 ) / x 3
Daraus ergibt sich:
T2 ( x ) = - 3,0986 + 3 * ( x - 1 ) - ( 5 / 2 ) * ( x - 1 ) 2
= - 2,5 x ² + 8 x - 8,5986
Vermutlich hast du irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht.
Zu dem Näherungswert:
Der Ausdruck ln ( 1 / 6 ) - 4 entsteht aus ln ( x / 3 ) - ( 2 / x ), wenn man für x den Wert 1 / 2 einsetzt.
Du kannst also einen Näherungswert für ln ( 1 / 6 ) - 4 bestimmen, wenn du den Wert x = 1 / 2 in das Taylorpolynom T2 ( x ) einsetzt. Also:
ln ( 1 / 6 ) - 4 ≈ T2 ( 1 / 2 ) = - 2,5 ( 1 / 2 ) ² + 8 * ( 1 / 2 ) - 8,5986 = -5,2236
(Der "genaue" Wert von ln ( 1 / 6 ) - 4 ist - 5,792 )
Hier noch das Schaubild der Graphen der Funktion f ( x ) , "deines" Taylorpolynoms und des korrekten Taylorpolynoms in der Umgebung der Stelle x = 1:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%2F3%29-2%2Fx%2C-2.5x%C2%B2%2B8x-8.5986%2C-2.5x%C2%B2%2B8x-2.4014from.5to1.5
Du erkennst, wie sich das korrekte Polynom (rot) bei x =1 an f ( x ) (blau) anschmiegt, während das falsche Polynom (ocker) vertikal verschoben ist.
