Induktion mit Ungleichung

Question

Aufgabe:

Für alle x∈ℝ mit x>0

x + \( \frac{1}{x} \)≥ 2

Also den IA stimmt aber wie komme ich bei IS weiter ?

(x+1) + \( \frac{1}{x+1} \) ≥2

Answer 1

Da ist nichts für einen Induktionsbeweis. Die Ungleichung soll für alle reellen Zahlen gelten. Du würdest nur folgern, dass sie für eine ausgewählte Zahl x und dann auch für x+1, x+2 usw. gilt.

Damit ist nicht bewiesen, dass die auch für x+0,3672 gilt.

Comments

Und wie geht man bei so einer Aufgabe dann vor ? Habe leider keine Ahnung

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So lange umformen, bis man auf eine als bewiesen geltende Ungleichen triff, dann den gegangenen Weg umkehren.

Verwende mal als ersten Rechnenbefehl "mal x". Erzeuge dann durch Addition/Subtraktion auf einer Seite 0 und schau scharf hin.

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Ich habe dann

X² + \( \frac{1}{x} \) *x ≥2*x

X2 + x ≥ 2x |-2x damit ich dann eine 0 erzeuge

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Wenn du \( \frac{1}{x} \) mit x multiplizierst, bleibt da aber nicht mehr \( \frac{1}{x} \) stehen.

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Ja da steht dann x

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Nein.  \( \frac{1}{x} \cdot x\) ergibt NICHT x.

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1 sorry

Also x² +1≥ 2x |-2x

x² +1 -2x ≥0

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Ja, Und jetzt mal links scharf hinschauen. Eventuell bin. Formel????

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Ja genau die zweite und dann die Rückrichtung zeigen oder?

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Ja. Der Beweis beginnt mit "Stets gilt (x-1)²≥0. Daraus folgt..."