Aloha :)
Du kannst die Eigenschaften des Spatprodukte vollständig auf die Eigenschaften von Determinanten zurückführen:$$\langle\vec u\times\vec v,\vec w\rangle=\operatorname{det}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 & w_1\\u_2 & v_2 & w_2\\u_3 & v_3 & w_3\end{pmatrix}=-\operatorname{det}\begin{pmatrix}u_1 & w_1 & v_1\\u_2 & w_2 & v_2\\u_3 & w_3 & v_3\end{pmatrix}=-\langle\vec u\times\vec w,\vec v\rangle$$
Als Regeln für das Spatprodukt lernt man normalerweise:
a) Man kann das Spatprodukt zyklsich rotieren:$$\langle\vec u\times\vec v,\vec w\rangle=\langle\vec v\times\vec w,\vec u\rangle=\langle\vec w\times\vec u,\vec v\rangle$$b) Wenn du zwei Vektoren in ihrer Reihenfolge vertauschst, ändert sich das Vorzeichen.
