Aufgabe:
Text erkannt:
Es seien \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum, \( v_{1}, v_{2} \in V \) linear unabhängig und \( U, W \preccurlyeq V \) Unterräume mit \( U=\operatorname{Span}\left(v_{1}, v_{2}\right) \) und \( W=\operatorname{Span}\left(v_{1}+v_{2}, v_{1}-v_{2}\right) \). Dann gilt:
wahr
a) \( \operatorname{dim} U=\operatorname{dim} W=2 \).
b) \( U \cap W \) ist Unterraum von \( V \).
c) \( U \cup W \) ist Unterraum von \( V \).
d) \( U \backslash W \) ist Unterraum von \( V \).
e) \( V=U \oplus W \)
Block 2:
Es seien \( F: V \rightarrow W \) linear und \( \left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( V \). Dann gilt:
a) \( \left(F\left(v_{1}\right), \ldots, F\left(v_{n}\right)\right) \) ist ein Erzeugendensystem von Bild \( F \).
b) \( \operatorname{dim} V \leq \operatorname{dim} W \Rightarrow F \) injektiv.
c) \( \operatorname{dim} V \geq \operatorname{dim} W \Rightarrow F \) surjektiv.
d) \( F \) injektiv \( \Leftrightarrow F\left(0_{V}\right)=0_{W} \).
e) \( u_{1}, \ldots, u_{k} \in V \) mit \( F\left(u_{1}\right), \ldots, F\left(u_{k}\right) \) lin. unabh. \( \Rightarrow u_{1}, \ldots, u_{k} \) lin. unabh.
