Anfangswertproblem - Differentialgleichung - Lösen

Question

Lösen Sie das Anfangswertproblem
$$ \dot{x}(t)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{array}\right) x(t), \quad x(0)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) $$

Answer 1

Die allgemeine Lösung für ein Systeme von Dgl. der Form \( \dot x(t) = A x(t) \) mit \(x(0) = x_0 \) lautet

$$ x(t) = e^{At} x_0 $$

D.h. berechne die Matrix \( e^{At} \) entweder über Reihenentwicklung oder über Diagonalisierung.

Kann man auch mit Wolfram Alpha machen. Hier mit Jordan Zerlegung arbeiten.

Comments

Hallo, ich komme mit dem Ansatz leider nicht weiter. Kannst du mir vielleich noch ein bisschen auf die Sprünge helfen?

Grüße

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Schritt (1)

Bestimme die Normalform von \( A \) (hier Jordanform) und die entsprechende Transformationsmatrix. Also die Matrix \( S \) mit \( S^{-1} A S = J \)

Schritt (2)

Berechne \( e^{At} \). Aus der Reihenentwicklung der Exponentialform sieht man, dass \( e^{At} \) sich so berechnet. $$ e^{At} = S e^{Jt} S^{-1} $$ Jetzt noch daran denken, das gilt \( J = \lambda E + N \) mit \( \lambda \) ist Eigenwert von \( A \) und \( N \) ist eine nilpotente Matrix. Dann ergibt sich $$ e^{At} = S e^{(\lambda E + N)t} S^{-1} = S e^{\lambda E t} e^{Nt} S^{-1} $$

\( e^{\lambda E t } \) ist eine Diagonalmatrix mit Einträgen von \( e^{\lambda t} \) auf der Diagonalen. \( e^{Nt} \) kann man aus der Reihendarstellung der Exponentialfunktion leicht berechnen, da \( N \) nilpotent ist.

Schritt (3)

\( e^{At} \) mit dem Anfangsvektor multiplizieren ergibt die Lösung.

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Problem ist wir erhalten einen dreifachen Eigenwert λ=2. Ein Eigenvektor dazu ist t*(-1,1,1)^T mit t=1. wie finde ich 2 weitere?

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Gehe nach diesem Schema vor

https://jp-g.de/Skripte/Jordan-Normalform.pdf

Damit berechnet sich die transformationsmatrix zu $$ S = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}  $$ und damit $$ S^{-1} A S = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}  $$

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das verstehe ich jetzt nicht.

soweit ich weiß muss ich nun 2 weitere hauptvektoren finden.

ich wusste nicht mehr wie das geht.

aber nach kurzer recherche fand ich das:

https://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/diffgln/dgl1-06.pdf

hier steht

Kernmatrix = V_1 für einen weiteren hauptvektor v_2.

dann

Kernmatrix = v_2 für einen dritten

mfg

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also da steht nur (M - Eλ)u = v_1

das hab ich gemacht und komme auf

-1 -1 0| -1

 0 1 -1| 0

 0 0 0 | 0

und aus 2. zeile folgt x_2 = x_3

aus der 3. kann ich x_3 = t setzen

und die erste lautet x_1 = -x_2 +1

mit t=1 komme ich auf

v_2 = (0,1,1)

ist das ein hauptvektor?

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ok vergiss was ich oben geschrieben habe. 0,1,1 ist kein hauptvektor. habe die folgenden genommen.

hab was rausbekommen:

ist das richtig?

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Ich habe folgende Hauptverktoren bekommen

$$  \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $$

Das ist dann auch die Transformationsmatrix. Als Jordan Normalform bekommt man damit $$ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}  $$ Daraus berechnet sich dann die Matrix $$ e^{At}  $$ wie oben beschrieben und nach Multiplikation mit dem Anfangswert bekommt man

$$ x(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} 1-t\\t\\t \end{pmatrix} $$ Kann man dann nochmal durch einsetzten kontrollieren.

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ok ich verstehe... danke sehr

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ich verstehe das nicht

wie kommst du auf den hauptvektor/eigenvektor (1,0,0)?

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Den hab ich doch gar nicht berechnet. Wie kommst Du darauf?

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HastDu das mit dem Anfangswert verwechselt?