Zeigen Sie, dass AX = {B ⊆ R: X−1(B) ∈ A} eine σ-Algebra in R ist!

Question

Ω sei eine nichtleere Menge, A eine σ-Algebra in Ω und X: Ω → R eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie, dass A_X = {B ⊆ R: X⁻¹(B) ∈ A} eine σ-Algebra in R ist!

Könnte mir bei der Aufgabe Hilfe gebrauchen

Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

es gelten:

\( (\Sigma_1): \quad R\in\mathcal{A}_X \) , da \( X^{-1}(R) = \Omega\in \mathcal{A} \)

\( (\Sigma_2):\quad\)Sei \( B\in\mathcal{A}_X, \) d.h. \( X^{-1}(B) \in \mathcal{A}\). Dann gilt \( X^{-1}\left(B^C\right) = (\underbrace{X^{-1}(B)}_{\in \mathcal{A}})^C \in \mathcal{A} \Rightarrow B^C \in \mathcal{A}_X \)

\( (\Sigma_3):\quad\)Seien \( (B_j)_{j\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{A}_X \), d.h. \( X^{-1}(B_j) \in \mathcal{A} \) für alle \( j \in \mathbb{N} \). Dann gilt \( X^{-1}\left( \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} B_j\right) =  \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^{-1} \left(B_j\right)}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{A} \Rightarrow  \bigcup\limits_{j \in \mathbb{N}} B_j \in \mathcal{A}_X \)

Damit ist \( \mathcal{A}_X \subset \mathcal{P}(R) \) eine \( \sigma \)- Algebra auf \( R \).