0 Daumen
250 Aufrufe

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}} \)


Problem/Ansatz:

In einer Übungsaufgabe wurde im Zähler und Nenner das höchste Glied ausgeklammert.

Also hier \( n^{2} \) und \( n^{4} \) und dann kann man irgendeine Verbindung zu \( \frac{1}{n^{2}} \) herstellen.

Da die Folge ja konvergiert, sollte man das Majorantenkriterium benutzen, jedoch komm ich da nicht weiter.

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

$$\left|\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}\right|=\left|\frac{n+1}{n^3-n^2+n+3}\right|=\left|\frac{n+1}{(n+1)(n^2-2n+3)}\right|=\left|\frac{1}{n^2-2n+3}\right |\overset{(*)} \leq \frac{1}{n^2}$$ Da \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) konvergiert auch \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n^{2}+n}{n^{4}-n^{3}+n^{2}+3n}} \) nach dem Majorantenkriterium.

\((*)\) Für \(n\geq 2\).

Avatar von 28 k

Danke für die Antwort, aber \( \frac{1}{n^{2}-2n+3} \) ist doch nicht kleiner als \( \frac{1}{n^{2}} \) oder habe ich einen Denkfehler?

Ne, du hast völlig recht.

Okay, hast du zufällig einen anderen Lösungsansatz?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community