Wohin verschwindet aber das +1 bei 2^k+1?

Question

Text erkannt:

Hallo Community,

Ich frage mich wie die gekennzeichnete Potenz zustande kommt.

Dieses Summenzeichen müsste ja mit unterstehender Formel aufgelöst werden.

Wohin verschwindet aber das +1 bei 2^(k+1)? Das kann doch nicht einfach weg sein oder?

Lg

Answer 1

Aloha :)

Die Summenformel der geometrischen Reihe lautet:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$Die Summe startet beim Index \(k=0\). Diese Situation musst du hier zunächst herstellen:$$\sum\limits_{k=1}^32^{k+1}=\sum\limits_{k=0}^22^{k+2}=2^2\sum\limits_{k=0}^22^{k}=4\cdot\frac{1-2^3}{1-2}=\frac{4-2^5}{1-2}=28$$Die gedruckte Formel ist also falsch, das Ergebnis ist um den Faktor \(2\) zu klein.

Comments

Hallöchen☺️

Ja das macht auch mega viel Sinn was du geschrieben hast, allerdings haben wir auch folgende Formel gegeben hier verwirrt mich aber wie gesagt das k+1, deshalb macht dein Lösungsweg für mich irgendwie mehr Sinn.

Hast du aber eventuell das -\( \sum\limits_{k=1}^{3}{1} \) vergessen?

In der Lösung im Skript kommt nämlich als Ergebnis 11 raus

P.S. Die Aufgabe habe ich geschnitten :) ich hatte das Ende nicht geteilt weil ich den verstanden habe und nur bei diesem Teil nicht weiter kam

Liebe Grüße

---

Um die zweite Summe mit dem Wert \(3\) habe ich micht nicht gekümmert, die ist ja klar. Die erste ist halt völlig falsch. Korrekt heißt die ganze Rechnung:

$$\sum\limits_{k=1}^32^{k+1}-\sum\limits_{k=1}^31=\sum\limits_{k=0}^22^{k+2}-3=4\,\frac{1-2^3}{1-2}-3=4\cdot7-3=25$$

Achte bitte bei "eurer" Summenformel darauf, dass der Laufindex bei \(1\) beginnt, deswegen muss man vom Ergebnis eine \(1\) abziehen:$$\sum\limits_{k=1}^nq^n=\sum\limits_{k=0}^nq^n-1=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1$$

Das Ergebnis \(11\) aus der Vorlesung ist falsch. Du kannst die kurze Summe ja auch direkt hinschreiben:

$$\sum\limits_{k=1}^32^{k+1}-\sum\limits_{k=1}^31=2^2+2^3+2^4-3=4+8+16-3=25$$