Zeigen Sie, dass E[X|Y ∈ B] existiert und E[X|Y ∈ B] = E[X]

Question

Aufgabe:

a) Seien X und Y unabhängige reell-wertige Zufallsvariablen mit E[|X|] < ∞ und B ⊆ R eine
Menge mit P(Y ∈ B) > 0. Zeigen Sie, dass E[X|Y ∈ B] existiert und E[X|Y ∈ B] = E[X]
gilt.

b) Seien nun X und Z reell-wertige Zufallsvariablen mit E[|X|] < ∞ und sei S = Z(Ω) der
abzählbare Zustandsraum von Z. Ferner gelte: P(Z = z) > 0 für alle z ∈ Z(Ω). Zeigen Sie:
z∈S E[X|Z = z]P(Z = z) = E[X].

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dem Ansatz. Hat jemand vielleicht eine Idee?

Danke