Verständnisproblem Wegintegral

Question

Aufgabe:

Definition 3.15: Es sei $\gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbb{C}$ ein Integrationsweg in $\mathbb{C}$ und $f: \operatorname{Spur}(\gamma) \longrightarrow$ C eine stetige Funktion. Dann wird das Kurvenintegral (Wegintegral) von $f$ längs $\gamma$ definiert durch

$\int \limits_{\gamma} f(z) d z:=\int \limits_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t) d t$

Problem/Ansatz:

Es geht hier weniger um eine Aufgabe, sondern um ein allgemeines Verständnisproblem: Ich verstehe nicht, warum man von einem Bild des Weges (Spur) abbildet nach C und diese dann integriert. Ist es nicht Zweck von Wegintegralen sich nur den Weg anzuschauen? Auf einmal betrachtet man eine Abbildung vom Bild nach C - warum?

Comments

Guck dir dieses Video mal, damit wird es vielleicht klarer. Wenn nicht, frag nochmal, ich versuche dann, weiter zu helfen.

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Du hast $\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}$. Mit dem Wegintegral berechnest du die Fläche zwischen $\gamma(t)$ und $f(\gamma (t))$.

$f(\gamma(t))$ ist eine Komposition von zwei Funktionen und die Definitionsmenge ist genau die Bildmenge von $\gamma$, also in kurventheoretischer Sprache, die Spur.

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Alles klar, das war schon mal sehr hilfreich. Wenn ich dann das Cauchy-Integral betrachte:

Ist dass dann einfach nur das Integral einer unendlichen Reihe?

Answer 1

Aloha :)

Um die Bedeutung eines Wegintegrals zu verstehen, bediene ich mich mal der Physik, denn da kommt es her. In einem Kraftfeld $\vec F(\vec r)$ muss man eine Arbeit $\Delta W$ leisten, wenn man ein Objekt vom Ort $\vec r$ zum Ort $\vec r+\Delta r$ bewegen möchte. Für diese Arbeit gilt:$$\Delta W=\vec F(\vec r)\cdot\Delta\vec r$$Das benötigte Arbeitspaket $\Delta W$ hängt also direkt von der Stärke der Kraft $F(\vec r)$ am Ort $\vec r$  ab. Wenn wir das Objekt nun von $\vec a$ nach $\vec b$ verschieben wollen, können wir die dazu nötigen Arbeitspakete stückweise addieren. Dazu gehen wir zu infinitesimal kleinen Intervallen über (Ameisen-Modus):$$dW=\vec F(\vec r)\cdot d\vec r$$und integrieren über die Wegstücke $d\vec r$:$$W=\int\limits_{\vec a}^{\vec b}\vec F(\vec r)\,d\vec r$$Das Wegintegral sammelt also alle kleinen Arbeitspakete $dW$ auf, die entlang des Weges zu leisten sind. Wenn du nun eine Parametrisierung des Weges hast, etwa $\vec r=\vec r(t)$, kannst du das Integral über $d\vec r$ durch Substitution auf ein Integral über den Parameter $t$ zurückführen:$$W=\int\limits_{t(\vec a)}^{t(\vec b)}\vec F(\,\vec r(t)\,)\cdot\frac{d\vec r(t)}{dt}\,dt$$

Das Wegintegral schaut sich also nicht nur den Weg an, sondern die Wirkung der Umgebung, etwa eines Kraftfeldes, entlang dieses Weges. Das kannst du übertragen auf eine Erntemaschine, die ein Feld aberntet,auf einen Radfaher im Gebirge... und natürlich abstrahieren in den komplexen Zahlenraum, sodass die Mathematiker auch ihren Spaß daran haben ;)

"Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr." - Albert Einstein