|z+2i| Komplexe Zahlen skizzieren

Question

Aufgabe:

Hausaufgabe 1 (3 Punkte)

Skizzieren Sie die folgenden Größen in der komplexen Zahlenebene.

• M1 = {z ∈ C: |z + 2i| + |z 4i| ≥ 10}

• M2 = {z ∈ C: |z - 2i|² <Re (2z + 3)}

• M3 = {z ∈ C: Re z < Im z ≤ 2Re z ∧ -2 ≤ Re z < 3}

Hinweis: Machen Sie deutlich, ob Ränder zur Menge gehören oder nicht.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich das zeichnen soll. Sämtliche Beispiele aus dem Internet sind nur mit (1-i) oder so, also ohne z. Ich habe bei Wolfram die Mengen eingegeben, aber das hilft mir leider nicht viel. Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Schreibe z als x+i*y und setze das so ein.

Comments

Und dann? Somit habe ich doch mehr Variablen.

|x+yi+2i|+|x+yi-4i|≥10

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|x+yi+2i|+|x+yi-4i|≥10

\( \sqrt{x^2+(y+2)^2}+ \sqrt{x^2+(y-4)^2}≥10 \)

Ja, die weiteren Umformungen sind ekelhaft.

Letztendlich erhältst du eine (Un)gleichung, die eine Ellipse mit den Brennpunkten
-2i und 4i beschreibt, deren große Halbachse die Länge 5 hat.

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Ist das so richtig?

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Nein. Der Brennpunktabstand ist 6, die lineare Exzentrizität e ist demzufolge 3,

und die Halbachse b ist \( \sqrt{5^2-3^2}=4 \).

Die Gleichung der Ellipse ist \( \frac{x^2}{25} \)+\( \frac{(y-1)^2}{16} =1\),

Die gegebene Ungleichung selbst wird durch den Rand dieser Ellipse und (wegen ≥ 10) durch die Fläche außerhalb der Ellipse erfüllt.

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Ich habe noch nie so mit Ellipsen gearbeitet. Wie kann ich mir diese Ellipse vorstellen?