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\( \begin{array}{l}|a+b i+2|^{2}|a+b i-2 i|^{2}+1 \\ =|(a+2)+(b i)|^{2}=|a+i(b-2)|^{2}+1 \\ =\sqrt{(a+2)^{2}+b^{2}}{ }^{2}=\sqrt{a^{2}+(b-2)^{2}}+1 \\ =(a+2)^{2}+b^{2}>=a^{2}+(b-2)^{2}+1 \\ a^{2}+4 a+4+b^{2}>a^{2}+b^{2}-4 b+4+1 \\ 4 a+4>-4 b+5 \\ a>-b+\frac{1}{4}\end{array} \)

Aufgabe:

Skizziere die Menge aller Zahlen z ∈ ℂ, für die gilt:

|z+2|² > |z-2i|²+1.

Problem/Ansatz:

Bei Aufgaben in der Form war sonst immer relativ leicht abzulesen, wie die Geometrie der Lösungsmenge zu skizzieren ist,

wenn da z. B nur |z+2| steht ist ja klar, dass es ein Kreis ist mit dem Mittelpunkt -2 und dann sagt mir die Gleichung oder Ungleichung wie der radius ist und welcher Lösungsbereich gemeint ist.

Wie ändert sich das jetzt, wenn da hoch 2 steht? mich verwirrt auch, dass auf der rechten Seite noch die +1 ist.


die Rechnung ist schlampig, aber kann man so vorgehen?

Dann wäre es andersherum b> -a+1/4?

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Aloha :)

Nutze die Rechenregeln, dann brauchst du nicht so viel nachzudenken:$$\left|z+2\right|^2>\left|z-2i\right|^2+1\quad\big|z=x+iy\text{ einsetzen}$$$$\left|x+iy+2\right|^2>\left|x+iy-2i\right|^2+1\quad\big|\text{Real- und Imaginärteile zusammenfassen}$$$$\left|(x+2)+iy\right|^2>\left|x+i(y-2)\right|^2+1\quad\big|\text{Beträge bilden}$$$$(x+2)^2+y^2>x^2+(y-2)^2+1\quad\big|\text{beide Seiten ausrechnen}$$$$x^2+4x+4+y^2>x^2+y^2-4y+5\quad\big|-x^2-y^2-4$$$$4x>-4y+1\quad\big|+4y-4x$$$$4y>1-4x\quad\big|\div4$$$$y>\frac14-x$$

In der Gauß'schen Zahlenebene liegt die Lösungsmenge also oberhalb der Geraden:

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