Distributivgesetz bei kommutativem Ring beweisen

Question

Aufgabe: Es sei X eine Menge und R = P(X) ihre Potenzmenge. Definiere die Verknüpfungen A + B = (A∪B)\(A∩B) und A·B = A∩B auf der Menge R.

Beweisen Sie, dass R mit diesen beiden Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet.

Problem/Ansatz: Ich habe bereits alle Anforderungen für einen kommutativen Ring bewiesen, außer die Distributivität. also, dass für alle x,y,z∈R (x+y)·z = xz + yz und x(y+z) = xy + xz gilt.

Answer 1

Wenn du kommutativ schon hast, brauchst du ja nur die
erste Version zu beweisen.

Dazu betrachte

(x+y)z = (( x∪y)  \   (x∩y)  ) ∩ z  =   (( x∪y)  ∩ z)  \  ((x∩y) ∩ z)#

Im letzten Schritt wurde benutzt, dass allgemein für Mengen

gilt (A\B)∩C =  (A∩C ) \ (B∩C ) . Das muss man vielleicht
noch extra beweisen ( s.u)

und die andere Seite der zu beweisenden Gleichung:

xz + yz = x∩z + y∩z

        = ( (x∩z )∪(y∩z) \ ((x∩z)  ∩(x∩z) )

        =( ( x∪ y)∩z) \ (x∩y ∩z).

Also wie bei #.

Fehlt also nur noch (wenn nicht schon bewiesen)

(A\B)∩C =  (A∩C ) \ (B∩C ) .

Das geht "zu Fuß": Sei x∈(A\B)∩C

==>   x∈A und x∉B und   x∈C

==>   ( x∈A und  x∈C )   und  x∉B

==>  ( x∈A und x∈C )  und (x∉B und x∈C)

==>   x∈   (A∩C ) \ (B∩C ) .

umgekehrt entsprechend.

Answer 2

Servus mathepleb123! Hast du bei deinen bisherigen Rechnungen die symmetrische Differenz, also (A∪B)\(A∩B) irgendwie umgeschrieben? Als Vereinigung gewisser Mengen vielleicht? Falls nicht, hier hilft vielleicht ein Bild. Das wäre zumindest das erste, was ich tun würde. Kann nicht versprechen, dass es auch zu was führt aber ein Versuch sollte das ganze Wert sein. Viel Erfolg, Michael