Aloha :)
Ich mache die Lösung für die \(1\)-er Ergebis-Spalte vor. Die \(0\)-er Ergebnis-Spalte kriegen wir dann automatisch mit, weil sich eine \(0\)-er Ergebnis-Spalte bei elementaren Zeilen-Operationen nicht ändert.
$$\begin{array}{rrrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = && \text{Aktion}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 1 &&\\7 & 4 & 8 & 46 & 1 && -\text{Zeile 1}\\12 & 7 & 12 & 78 & 1 && -\text{Zeile 4}\\14 & 8 & 16 & 92 & 1 && -2\cdot\text{Zeile 2}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 1 &&\\2 & 1 & 4 & 14 & 0 && \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 &&\\\hline \end{array}$$
Wir sehen hier sofort, dass die 2-te Aufgabe tatsächlich keine Lösung hat, denn die letzte Zeile liefert eine Gleichung, die nie erfüllt werden kann:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4=-1\quad\implies\quad 0=1$$Damit ist die 2-te Aufgabe erledigt und wir brauchen nur noch die \(0\)-er Ergebnis-Spalte weiter zu betrachten. In unserer bisherigen Lösung ändern wir daher die Ergebnis-Spalte zu \(0\). Dann wird die gerade betrachtete Gleichung zu \(0=0\), ist also immer erfüllt.
$$\begin{array}{rrrrrrl}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = && \text{Aktion}\\\hline5 & 3 & 4 & 32 & 0 && +2\cdot\text{Zeile 3}\\2 & 1 & 4 & 14 & 0 && +\text{Zeile 3} \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 && \text{streichen}\\\hline1 & 1 & -4 & 4 & 0 && \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 && \text{streichen} \\-2 & -1 & -4 & -14 & 0 &&+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & -4 & 4 & 0 && -\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -12 & -6 & 0 &&\\\hline1 & 0 & 8 & 10 & 0 && \\0 & 1 & -12 & -6 & 0 &&\\\hline\end{array}$$
Mehr Nullen können wir nicht generieren und lesen ab:$$x_1+8x_3+10x_4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=-8x_3-10x_4$$$$x_2-12x_3-6x_4=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=12x_3+6x_4$$Damit können wir die unendlich vielen Lösungen wie folgt angeben:
$$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-8x_3-10x_4\\12x_3+6x_4\\x_3\\x_4\end{array}\right)=x_3\left(\begin{array}{r}-8\\12\\1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{r}-10\\6\\0\\1\end{array}\right)$$
