Aufgabe:
Bestimmen Sie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung eine Matrix
$$ A=U\Sigma V^T = \left( a_1,\, a_2,\, a_3\right)\in\mathbb{R}^{2\times 3}$$
mit $$ \lVert a_j\rVert_2 =1\;\mathrm{für}\; j=1,\, 2,\, 3 $$ und Singulärwerten $$ \sigma_1=\sigma_2=\sqrt{3/2}. $$ Wählen Sie $$ U = I_2.$$
Ansatz:
Es wurde in einer vorherigen Aufgabenstellung folgende Beziehung gezeigt:
Für die Spaltenvektoren $$ u_1,\, u_2\in\mathbb{R}^2 $$ und $$v_1\, v_2,\, v_3\in\mathbb{R}^3$$ von U und V gilt
$$ A^T u_j = \sigma_j v_j\quad\mathrm{für}\quad j=1,\, 2. $$
Es gilt somit
$$ A^T U=A^T = \left( A^T\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix},\, A^T\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right) = \sqrt{3/2}\left(v_1,\, v_2\right). $$
Vorliegendes Problem:
Sei $$ v_i :=\begin{pmatrix} x_i\\y_i\\z_i\end{pmatrix},\quad i\in\{1,\, 2\}, $$ dann muss aufgrund der Orthogonalität der Matrix V folgendes gelten:
$$\lVert v_i\rVert = 1,\quad i\in\{1,\, 2\},\quad \langle v_1,\, v_2\rangle = 0$$ und wegen $$ \lVert a_j\rVert_2 =1 $$ noch zusätzlich
$$ x_1^2+x_2^2 = y_1^2+y_2^2 = z_1^2+z_2^2 = 2/3. $$
Ich habe keine Ahnung, wie man die Vektoren $$ v_1,\, v_2 $$ konstruieren soll.
