Zeigen Sie, Gibt es injektive Funktionen f : A → B und g : B → A, dann gibt es auch eine bijektive Funktion h : A → B.

Question

Für endliche Mengen A und B gilt: Gibt es injektive Funktionen f : A → B und g : B → A, dann ist |A| ≤ |B| und |A| ≥ |B|. Also ist |A| = |B|, die beiden Mengen sind also gleich mächtig und es gibt eine bijektive Funktion von A nach B.

Zeigen Sie, dass dies auch für beliebige Mengen A und B gilt: Gibt es injektive Funktionen f : A → B und g : B → A, dann gibt es auch eine bijektive Funktion h : A → B.

Answer 1

Hallo,

da die Umkehrabbildung $f^{-1}$ injektiv ist, ist die Abbildung $f$ surjektiv. Da $f$ nach Voraussetzung bereits injektiv ist, ist $f$ bijektiv $\square$

Comments

"Die Umkehrabbildung muss nicht existieren! Gegenbeispiel: A=B=ℕ mit f(x) = g(x) = 2x."

Hilfe :(