Zeigen Sie, dass es keine injektive Abbildung f : X → Y gibt.

Question

Aufgabe:

i) Seien X,Y nichtleere endliche Mengen mit |X| > |Y|. Zeigen Sie, dass es keine injektive Abbildung f : X → Y gibt.
ii) Zeigen Sie, dass es eine bijektive Abbildung f : Z → N gibt.

Problem/Ansatz:

Also meine Idee ist bei i):

Die Bedingung für eine Injektivtät ist ja x=y oder x1=x2, diese kann ja aber direkt widerlegt werden, durch die die Aussage X>Y.

Aber das kommt mir viel zu leicht vor, ich denke ich habe einfach nur einen Denkfehler.

Answer 1

Zu (i)

Angenommen \(f\) wäre injektiv,

dann wäre \(|f(X)|=|X|>|Y|\). Aus \(f(X)\subseteq Y\)

folgt jedoch \(|f(X)|\leq |Y|\), Widerspruch!