Hi.
Ich würde bei dieser Aufgabe folgende zwei Punkte zeigen:
(1) Die Mengen A und B sind gleichmächtig, d.h. ∣A∣=∣B∣, unabhängig davon ob A, B endlich oder unendlich sind, und
(2) die Existenz einer bijektiven Abbildung h : A→B.
Lösungsvorschlag:
Seien A und B beliebige Mengen.
(1) Zeige ∣A∣=∣B∣:
Da f : A→B injektiv ist:
⇒ ∣A∣=∣f(A)∣, wobei f(A)⊆B die Bildmenge von f ist.
⇒ ∣A∣=∣f(A)∣=∣B∣−∣MB∣, wobei MB : ={b∈B∣b=f(a),∀a∈A} die Menge der Elemente b∈B ist, die aufgrund der Injektivität von f gar keinen Partner a∈A haben.
⇒ ∣A∣≤∣B∣ (⋆)
Da g : B→A injektiv ist:
⇒ ∣B∣=∣g(B)∣, wobei g(B)⊆A die Bildmenge von g ist.
⇒ ∣B∣=∣g(B)∣=∣A∣−∣MA∣, wobei MA : ={a∈A∣a=g(b),∀b∈B} die Menge der Elemente a∈A ist, die aufgrund der Injektivität von g gar keinen Partner b∈B haben.
⇒ ∣B∣≤∣A∣ (⋆⋆)
Aus (⋆) und (⋆⋆) folgt ∣B∣≤∣A∣≤∣B∣ bzw. ∣A∣=∣B∣, und mithin MA=MB=∅.
(2) Zeige f : A→B ist surjektiv:
Wir wissen, dass ∣A∣=∣B∣ und f : A→B injektiv ist. Widerspruchsbeweis: wir nehmen an, dass f nicht surjektiv sei. Dann:
f : A→B nicht surjektiv
⇒∃b∈B : ∀a∈A : b=f(a)
⇒MB : ={b∈B∣b=f(a),∀a∈A}=∅
⇒∣A∣=∣B∣−∣MB∣
⇒∣B∣>∣A∣=∣B∣
⇒∣B∣>∣B∣
⇒ Widerspruch!
Also muss f surjektiv sein. Somit ist f bijektiv. Wir wählen anschließend h : =f. Dadurch ist h : A→B automatisch bijektiv. Und wir haben die Existenz einer bijektiven Funktion von zwischen A und B bewiesen.
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Ich hoffe, es hilft.
MfG