Behauptung:
Sei M ⊂ ℝ. Genau dann ist a ∈ ℝ Häufungspunkt von M, wenn eine Folge (an)n∈ℕ ⊂ M \ {a} existiert
mit an -> a für n ->∞.
1. a ist HP ==> Es gibt eine Folge von Elementen≠a in M, die gegen a konvergiert.
Beweis:
Da a HP gibt es nach Definition in jeder Umgebung von a noch ein weiteres Element von M.
Nun wähle ich in den Umgebungen (a-1/n, a+1/n) jeweils eines dieser Elemente ≠ a und nenne es an.
Die so konstruierte Folge von Elementen von M konvergiert wie verlangt gegen a. qed.
2. a ist HP <== Es gibt eine Folge (an)n∈ℕ von Elementen≠a in M, die gegen a konvergiert.
Beweis: Sei U eine beliebig kleine Umgebung von a: Z.B. U = (a-ε, a+ε). Zu zeigen wäre, dass in U \ {a} ein Element von M liegt.
Weil die Folge (an)n∈ℕ von Elementen≠a in M, die gegen a konvergiert, gibt es für ε ein no so dass für alle Elemente von (an)n>no in M gilt |an - a| < ε. Keines von denen ist gleich a. Daher ist M n U \ {a} ≠ ∅. qed.
