Aufgabe: b∈ℕ, b ≥ 2. Für jedes n ∈ ℕ sei zn ∈ {0, 1, 2, ..., b-1}
Zeigen Sie, dass die Reihe ∑n=1∞ \sum\limits_{n=1}^{\infty} n=1∑∞znbn \frac{zn}{b^n} bnzn konvergiert.
Problem/Ansatz:
nach oben abschätzen mit Hilfe der geometrischen Reihe.
∑n=1∞znbn≤∑n=1∞b−1bn=(b−1)∑n=1∞1bn \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{zn}{b^n} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b-1}{b^n} = (b-1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{b^n}n=1∑∞bnzn≤n=1∑∞bnb−1=(b−1)n=1∑∞bn1
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