Aloha :)
Bei diesem Integral hängt die obere Grenze für \(y\) von \(x\) ab. Daher ist die Integrationsreihenfolge wichtig. Wir müssen zunächst über \(dy\) integrieren und dabei das \(x\) festhalten. Anschließend können wir über \(dx\) integrieren.
$$I=\iint\limits_S(\sin x+\cos y) dS=\int\limits_0^\pi dx\int\limits_0^{2x}(\sin x+\cos y)\,dy$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^\pi dx\left[y\,\sin x+\sin y\right]_{y=0}^{2x}=\int\limits_0^\pi dx\left(2x\,\sin x+\sin2x\right)$$$$\phantom{I}=2\int\limits_0^\pi \underbrace{x}_{=u}\,\underbrace{\sin x}_{=v'}\,dx+\int\limits_0^\pi\sin2x\,dx$$$$\phantom{I}=2\left(\left[\underbrace{x}_{=u}\underbrace{(-\cos x)}_{=v}\right]_0^\pi-\int\limits_0^\pi \underbrace{1}_{=u'}\,\underbrace{(-\cos x)}_{=v}\,dx\right)-\left[\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^\pi$$$$\phantom{I}=2\left(\pi+\left[\sin x\right]_0^\pi\right)-0$$$$\phantom{I}=2\pi$$
